小波与滤波器组学习笔记2:Haar System与MRA

小波这个课已经越来越神了。上了大概八周课之后,现在已经出了第二节课开头的心灵鸡汤20分钟以外,完全都听不懂了。相对比之下,数值分析这门课还真是如开学选课时听说的“亲民”,一如既往的能勉强听懂。

对比之下就更显得Mallat大神有多么牛...在那么年轻的年纪就随随便便的建立了我们怎么都学不会的理论。人和人的资质果然是有差距的啊。

话归正题,今天上完课老师要求我们到时候推Haar Function和其对应的nested sets符合Multiresolution Analysis(MRA)的定义要求。被老师拽着鼻子拽了两节课,下了课照着老师说的想了想节课,还真是心里没谱。遂翘了半节晚上的AI就回到宿舍趁热看看这部分内容。鉴于考试要考这个,所以还是赶紧记下来为重。

其中MRA的定义各个地方的叙述方式都有写差别,主要集中在嵌套集合的下标顺序上。老师课件上和wikipedia上写的都是 [V_{j+1}subset V_j]

不过网上找了几篇论文和几个网站(GT和bell的官网上等)上的说明pdf,都是写的 [V_jsubset V_{j+1}]

鉴于本文的目的暂时是为了最后的考试,所以暂时采用老师的定义方式。

最后MRA的定义如下,要求嵌套集合(V_j)和函数(varphi)满足如下五个条件。

  • (cdotcdotcdot V_2 subset V_1 subset V_1 subset V_0 subset V_{-1} subset V_{-2} cdotcdotcdot)
  • (overline{bigcup V_j}=L_2(R))且(bigcap V_j = {0})
  • (f(t)in V_i Leftrightarrow f(2^it)in V_0)
  • (f(t)in V_0 Leftrightarrow f(t-n)in V_0)
  • 存在(V_0)的标准正交基({varphi (t-n)|nin Z})

以下将对以上各点进行不严谨的证明。(数学没学好啊!)

5.对于Haar小波的尺度函数,当scale为1时,由于其长度为1,且幅值为1,所以其天然构成(V_0)的标准正交基。

4.若(f(t)in V_0),由于(V_0)可以分布在整个实轴上,则对其进行平移,得到的函数依然属于该集合。

以上两条均由于Haar小波的尺度函数,很明显。

3.5和4中只对(V_0)进行了定义,并没有规定集合的嵌套规律。定义(V_j)由对应该集合下标的Haar小波尺度函数为标准正交基展开。则由于本定义,第3条定义也天然成立。

1.首先明确,嵌套集之间的关系和集合中元素的幅值并无关系,因为标准正交基前所乘以的系数是随意的。而(j)越小,其尺度函数自变量(t)前的系数(2^{-j})越大,所以在实轴上细分的份数就越多。直观来看,同样一段直线,(j)越小则细分的分数越多,“自由度”越高,能构成的图形越复杂(而不再是平板一块,可以构成阶梯形之类的)。所以1成立。

2.如果(fin bigcap V_j),则该函数一定是一个常数。而由于(fin L^2(R)),所以(f=0)。后半部分成立。

接下来看前半部分。对于任意(fin L^2(R)),直观上(intuitively,我终于也用上这个词了233)都存在一个(f_j)使得[parallel f^2-{f_j}^2 parallel leq frac{varepsilon}{2} ]

形象点说就像用一个不断变化的阶梯去拟合(f)的曲线一样,当(j)足够大时,上式成立。即前半部分成立。

后记:老师那个嵌套集的下标顺序真的很不好用...而且由于数学基础太差,上述文字也只能撑死称作说明,不能称作证明,实在是太弱了,权当帮助理解顺便期末混分吧。

最后拜Mallat大爷!(和Stuart长得真是像)

StephaneMallat